A matemática por trás da busca por uma agulha no palheiro

Encontrar uma agulha no palheiro é a metáfora perfeita para uma tarefa praticamente impossível. Mas quão difícil é, na realidade, realizar essa busca? A resposta é: exatamente tão difícil quanto você imagina.

A expressão popular ganha contornos reais quando analisada sob a perspectiva da matemática e da probabilidade, a área que estuda a aleatoriedade e a incerteza. Para aplicar esses conceitos ao desafio, o primeiro passo é dimensionar o problema. Considere um palheiro com cerca de três pés de largura, três de comprimento e oito de altura, o que resulta em aproximadamente 125.000 polegadas cúbicas — para comparação, o interior de um Honda Civic tem cerca de 171.000 polegadas cúbicas.

O melhor método para iniciar é dividir o problema em partes menores e gerenciáveis. “Eu pensei: ‘Talvez você pegue uma polegada cúbica de cada vez'”, sugere Jeffrey Rosenthal, professor de estatística da Universidade de Toronto. Isso significa examinar 125.000 frações separadas, uma por vez.

Calculando o tempo necessário

Rosenthal estima que uma pessoa consiga inspecionar uma polegada cúbica por segundo. Esse ritmo resulta em cerca de 35 horas ininterruptas de busca por pequenos tufos de feno.

Felizmente, cada porção individual possui uma chance em 125.000 de conter a agulha. É possível dar sorte e encontrá-la logo no primeiro bloco, ou passar quase um dia e meio remexendo pedaços secos de capim. Como as pessoas precisam de tempo para comer, dormir e realizar outras atividades, restringir a busca a jornadas de oito horas diárias resulta em “oito dessas quase 35 horas, o que representa cerca de 23 por cento” de chance de encontrar o objeto por dia.

Abordagens alternativas e o papel da inteligência artificial

Outra alternativa seria uma abordagem geométrica, transformando o monte tridimensional em um tapete plano. No entanto, essa estratégia traz novos obstáculos. “Quanto mais plano você o deixar, mais fácil pode ser encontrar uma agulha dentro de um pequeno pedaço”, analisa o professor. “Mas também, ele ficará maior e mais largo quando for espalhado.”

Existe uma forma de burlar o processo: problemas no estilo “agulha no palheiro” tornaram-se desafios para designers de aprendizado de máquina, exigindo que modelos de inteligência artificial sejam treinados para diferenciar o objeto procurado de seu entorno. Contudo, tanto humanos quanto máquinas costumam usar o termo como analogia para outras tarefas, em vez de realizar a busca literal.

Apesar de os modelos de IA ajudarem a resolver enigmas matemáticos complexos atualmente, eles ainda não foram amplamente aplicados à teoria das probabilidades. “Talvez eles não nos notarão por um tempo”, brinca Rosenthal sobre sua área de atuação, “mas tenho certeza de que isso está chegando.”