Desafio matemático da pirâmide misteriosa testa sua lógica

Um novo desafio matemático está atraindo a atenção de entusiastas da lógica de todo o mundo. Criado pelo físico e ex-professor universitário Heinrich Hemme, o enigma da pirâmide misteriosa propõe uma transformação numérica complexa em uma estrutura triangular composta por nove células.

Inicialmente, todas as nove células do triângulo contêm o número zero. O objetivo é alterar esses números, utilizando qualquer quantidade de movimentos, para que eles se transformem em nove inteiros positivos consecutivos, sendo $a$ o menor deles. A disposição desses nove números no interior do triângulo não importa.

Uma jogada válida consiste em aumentar ou diminuir em 1 unidade os números que ocupam duas células adjacentes, entendendo-se que células adjacentes compartilham um lado. A grande questão que o quebra-cabeça levanta é: para quais valores de $a$ o problema é solucionável?

A resolução do enigma

Para resolver o problema, é preciso analisar a distribuição das células. Um par de células adjacentes é sempre composto por um triângulo laranja e um preto. No início, a soma $r$ dos números presentes nas células laranjas é igual à soma $b$ dos números nas células pretas, sendo ambas iguais a 0. Uma jogada não altera esse equilíbrio $r = b$.

No final, os nove números do triângulo devem ser $a$, $a + 1$, …, e $a + 8$. Desse modo, como $b$ é a soma de seis dos números, $b geq a + (a + 1) + (a + 2) + (a + 3) + (a + 4) + (a + 5) = 6a + 15$. Por outro lado, como $r$ é a soma de três dos números, $r leq (a + 6) + (a + 7) + (a + 8) = 3a + 21$.

Como $b = r$, conclui-se que $6a + 15 leq 3a + 21$, o que resulta em $a leq 2$. Além disso, a igualdade $r = b$ indica que $r + b = 2r$, o que significa que $r + b$ deve ser um número par. Para $a = 1$, a soma dos nove números é $1 + 2 + … + 9 = 45$, que é um valor ímpar. Portanto, se existe uma solução para o problema, ela só é possível quando $a = 2$.

Em vez de incrementar os números no mesmo par de células somando 1 $n$ vezes, é possível aumentar ambos os números diretamente por $n$, sem alterar o problema. A ordem dos movimentos individuais também não interfere no resultado final.