Desafio matemático: qual é o menor número de inclinações possíveis?

Se cinco pontos forem dispostos de modo que linhas retas sejam traçadas entre cada par, quase todas as configurações possíveis farão com que cada linha apresente uma inclinação única. O desafio proposto é posicionar intencionalmente esses cinco pontos em qualquer lugar, desde que nenhum trio fique alinhado na mesma linha reta, para descobrir qual é o menor número possível de inclinações geradas pela conexão entre os pares de pontos e como ter certeza disso. A pergunta que fica para os entusiastas é: qual é o menor número de inclinações determinado por qualquer quantidade de pontos e você consegue provar isso?

A resposta para três linhas que formam um triângulo é que elas sempre apresentarão três inclinações diferentes. Caso duas dessas linhas fossem paralelas, tendo assim a mesma inclinação, elas jamais conseguiriam se encontrar em um canto. Isso determina que o número mínimo de inclinações entre três pontos que não estão em linha reta é exatamente três.

Analisando qualquer arranjo de cinco pontos em que nenhum trio esteja alinhado, podemos encontrar o ponto mais baixo e varrer uma linha a partir dele, registrando os ângulos em que essa linha atinge os demais pontos. Se quaisquer dois pontos dividirem o mesmo ângulo, significa que ambos estão alinhados com o ponto mais baixo, tornando a disposição inválida. Como isso não é permitido, precisamos ter quatro inclinações exclusivas. Traçando agora uma linha do primeiro ponto atingido até o último, triângulos são formados com todas as outras linhas, resultando obrigatoriamente em uma quinta inclinação — o que eleva o total para pelo menos cinco.

No entanto, a pergunta central é se existe uma configuração com apenas cinco inclinações. A resposta é sim. Quando os cinco pontos formam um pentagono regular, os pares de pontos traçam as laterais do polígono e todas as diagonais contidas nele. Cada um dos lados possui uma inclinação única, enquanto cada diagonal é paralela a um dos lados, compartilhando com ele a mesma inclinação, o que resulta em um total de cinco inclinações.

A solução geral para n pontos

A resposta matemática para $n$ pontos é exatamente $n$ inclinações, sendo que a configuração que realiza esse feito em cada caso é um polígono regular. Conforme a argumentação anterior, é obrigatório existirem pelo menos $n$ inclinações entre os $n$ pontos.

Em um polígono com lados ímpares, cada diagonal interna é paralela a um lado. Já no caso dos lados pares, a situação fica ligeiramente mais complexa: os lados aparecem em pares paralelos, fornecendo $n⁄2$ inclinações exclusivas a partir das bordas do polígono. Além disso, cada diagonal interna é paralela a um lado ou a outra diagonal que pula um ponto ao longo da borda, garantindo mais $n⁄2$ inclinações exclusivas provenientes das diagonais internas, o que totaliza exatamente $n$ inclinações.