Desafio matemático: descubra a fórmula secreta com duas perguntas

Um desafio matemático publicado recentemente propõe descobrir uma fórmula secreta oculta em um polinômio com coeficientes de números inteiros não negativos. Exemplos dessas fórmulas incluem expressões como “8×3 + 17x + 9”, “x225 + 99×222 + x101 + 2” ou “7×234”, sendo que nenhuma delas possui sinais de subtração. O criador do enigma define a regra: você não sabe quantos termos o polinômio possui, nem quais são os expoentes ou coeficientes, mas pode fazer perguntas consultando a fórmula ao fornecer um valor inteiro não negativo para x, recebendo o resultado correspondente. O grande desafio é deduzir a fórmula completa utilizando apenas duas consultas, permitindo que a segunda seja baseada na resposta da primeira.

Para solucionar o enigma, a primeira consulta deve ser feita com x = 1, o que fornece a soma dos coeficientes, chamada de S. Como S é a soma de coeficientes não negativos, nenhum coeficiente individual pode exceder esse valor. Na segunda consulta, o valor de x deve ser definido como a menor potência de 10 que seja maior do que S. Ou seja, se S for um número de um dígito, x será 10; se for de dois dígitos, x será 100; se for de três dígitos, x será 1.000, e assim por diante.

Por exemplo, considerando a fórmula secreta 2×5 + x3 + 3×2 + 2, ao definir x = 1, obtém-se S = 8. Esse resultado vem de 2 + 0 + 1 + 3 + 0 + 2 = 8, onde os zeros representam expoentes ausentes (já que não há termo x4 ou x, cujos coeficientes correspondentes são 0). Em seguida, ao fazer a consulta com x = 10, o resultado é 201.302, derivado de 200.000 + 0 + 1.000 + 300 + 0 + 2. Esse resultado lista os seis coeficientes em ordem, revelando completamente a fórmula.

Contudo, definir x = 10 pode gerar ambiguidades caso algum coeficiente seja 10 ou maior. Por exemplo, se S = 27, a segunda consulta seria x = 100, e o resultado listará os coeficientes novamente, mas desta vez cada coeficiente será representado por dois dígitos do resultado em vez de um. Um exemplo disso é substituir x = 100 em 21×5 + x3 + 3×2 + 2, resultando em 210001030002. Uma alternativa engenhosa é fazer a segunda consulta com x = S + 1 e escrever o resultado na base S + 1.

Curiosamente, se as consultas puderem ser feitas com qualquer número, é possível, em princípio, determinar a fórmula inteira com apenas uma única consulta utilizando x = π. No entanto, provar isso exige matemática mais avançada. O número π é transcendental, o que significa que, ao inseri-lo em um polinômio com coeficientes de números inteiros, ele sempre gerará uma saída única, sem as ambiguidades presentes em outros números.

O resultado de definir x = π também estabelece limites para o tamanho dos coeficientes e dos expoentes da fórmula. Por exemplo, se a consulta com x = π resultar em 54.44225…, deduz-se que todos os coeficientes estão entre 0 e 55 (caso contrário, o resultado seria maior) e que o expoente não pode ser maior do que 3, pois, se fosse, conteria no mínimo um termo π4, que equivale a 97.40909…. A partir de uma única consulta, descobre-se que os coeficientes do polinômio ficam entre 0 e 55, e os expoentes entre 0 e 3, restringindo a resposta a uma lista grande, porém finita, de possibilidades que podem ser verificadas.