Matemáticos desvendam quantidade infinita de equações de Ramanujan

Um grupo de pesquisadores conseguiu demonstrar que as históricas identidades de Rogers-Ramanujan representam apenas um caso particular de uma teoria geométrica muito mais ampla, revelando a existência de um número infinito de identidades matemáticas até então desconhecidas.

O lendário matemático Srinivasa Ramanujan e Yifeng Huang, pesquisador de pós-doutorado na Universidade Emory, compartilham uma característica: eles não serão ignorados. Em 1912, Ramanujan, um balconista de 24 anos na então chamada Madras Port Trust, na Índia, começou a enviar páginas de novas fórmulas não comprovadas para matemáticos em toda a Inglaterra. Uma de suas cartas acabou chegando ao matemático britânico G. H. Hardy, na Universidade de Cambridge, que reconheceu Ramanujan como um visionário, convidou-o para uma visita e ajudou a lançar sua carreira inovadora.

Mais de um século depois, Huang, enquanto era aluno de pós-graduação na Universidade de Michigan, começou a enviar e-mails aos matemáticos carta após carta — mais de 40 no total. Ele mal obteve respostas.

As ideias de Huang diziam respeito a duas fórmulas que apareciam nas cartas de Ramanujan e que hoje são conhecidas como as identidades de Rogers-Ramanujan. Em setembro de 2026, Huang e alguns colaboradores enviaram uma prova de que as equações históricas representam um único caso de uma teoria geométrica muito mais grandiosa. Em particular, o trabalho mostrou que as identidades de Rogers-Ramanujan correspondem a um nó de trevo em um determinado espaço. O trevo, conhecido como a forma do familiar nó celta, é um dos nós matemáticos mais simples. E nós relacionados, eles descobriram, revelam um número infinito de identidades anteriormente desconhecidas.

“Everything about this subject, even the original discovery, is a surprise”, afirma George Andrews, matemático da Universidade Estadual da Pensilvânia e especialista na matemática de Ramanujan. Ramanujan, Hardy e seus colaboradores “were all unable to prove this”, acrescenta ele. “So the things that have cropped up from knot theory were a total surprise to me.”

As identidades de Rogers-Ramanujan

Hardy foi o principal responsável por moldar grande parte da teoria dos números do início do século XX. Inicialmente cético ao receber uma carta de Ramanujan, Hardy mais tarde escreveu que reconheceu o autor da carta como “a mathematician of the highest quality, a man of altogether exceptional originality and power”. Foi um momento crucial.

Duas das fórmulas de Ramanujan eram surpreendentes: elas representavam uma série infinita de somas de um lado e uma série infinita de produtos do outro, sem nenhuma razão visível para os dois lados concordarem. Em 1916, o matemático britânico Percy MacMahon havia encontrado uma maneira de interpretá-las. Essas duas equações eram semelhantes às estudadas dois séculos antes pelo matemático Leonhard Euler. Euler tinha um truque engenhoso para contornar tal complexidade: ele conectava as equações a um tipo de problema de contagem conhecido como “partição”. Uma partição de um número é uma maneira de escrevê-lo como uma soma. MacMahon transformou as fórmulas de Ramanujan em dois tipos de partições que pareciam totalmente diferentes, mas cujas contagens sempre resultavam idênticas.

Eis como um lado de uma equação de Ramanujan era particionado: conte o número de maneiras de somar até um determinado valor usando números que estão a pelo menos dois números inteiros de distância. Por exemplo, 6 pode ser escrito como 1 + 5, 2 + 4 e 6. Portanto, há três partições.

Do outro lado, faça a soma usando apenas números que terminam em 1, 4, 6 ou 9. Para 6, a resposta é 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 4 e 6, o que também resulta em três partições.

As fórmulas dizem que essas duas contagens muito diferentes coincidem para todos os números. Antes que Ramanujan pudesse prová-las, ele se deparou com uma prova obscura do matemático inglês Leonard James Rogers em um antigo periódico de matemática. Assim, as equações ficaram conhecidas como as identidades de Rogers-Ramanujan.

“It was regarded, for most of the 20th century, as an isolated gem”, diz Andrews. Ninguém suspeitava que ela estivesse no coração de uma teoria muito maior.

No início dos anos 1970, Andrews descobriu uma família infinita de identidades. “I discovered them only to learn that [mathematician] Basil Gordon had done them first”, relata Andrews, “which was a huge disappointment for me.”

A nova família passou a ser conhecida como as identidades de Andrews-Gordon.

Desde então, as identidades apareceram em lugares estranhos: na teoria de representações, no estudo de funções simétricas e até na física através do “modelo do hexágono rígido”, que descreve como átomos de gás podem se assentar em uma superfície em um padrão triangular.

“Who would have thought that the Rogers-Ramanujan identities were related to how liquid helium behaves when poured onto a graphite plate?”, questiona Andrews.

O surgimento de uma conjectura

Yifeng Huang tinha um palpite.

Matrizes — pequenas planilhas de números — podem sofrer operações como inversões e transposições, que devem ser feitas em uma ordem específica para se obter o resultado correto. Mas se os valores das matrizes forem escolhidos de forma que a ordem das operações não importe (significando que elas “comutam”), então as matrizes se comportam como coordenadas e podem ser usadas para descrever curvas. Pegue qualquer curva suave, como a parábola y = x2, e substitua y e x por pares de matrizes. Um problema de nível de livro didático pode perguntar: quantos pares de matrizes tornam a equação verdadeira? Um estudante de matemática pode encontrar a resposta.

Mas o que acontece se você usar uma curva que não é tão suave — uma que tem um “entalhe” (pinch) nela, também conhecido como singularidade? Agora a teoria dos livros didáticos desmorona. Essas contagens de matrizes nunca haviam sido estudadas.

Enquanto ainda era aluno de doutorado na Universidade de Michigan, Huang começou a contar matrizes em curvas com entalhes, como y2 = x3, que chega a uma ponta afiada quando x e y são iguais a 0. Em pouco tempo, suas contagens reproduziram uma fórmula familiar: um lado das identidades de Rogers-Ramanujan. “Already this discovery is fascinating”, pontua Huang. “I’m wondering what is going on. It can’t be a coincidence.”

A partir desse único exemplo, Huang fez um palpite ousado e vago: e se cada curva com entalhe escondesse uma nova identidade, com sua contagem de matrizes colapsando em uma fórmula limpa? Esperando discutir a ideia mais a fundo, Huang escreveu cartas para um pequeno grupo de matemáticos — em torno de cinco a dez pessoas.

O matemático da Universidade da Virgínia Ken Ono recebeu uma dessas cartas. Mas, achando a ideia de Huang “louca”, Ono a descartou.

Outro destinatário da carta foi Alexei Oblomkov, matemático da Universidade de Massachusetts Amherst, cujo trabalho conecta geometria algébrica e teoria dos nós. “I thought it was kind of a great idea, and later we met at one of the conferences, and I liked the idea even more”, diz Oblomkov.

Nesse ponto, Huang e Ruofan Jiang, agora matemático da Universidade da Califórnia, em Berkeley, haviam desenvolvido uma maneira sistemática de contar quantas matrizes tornam verdadeiras as fórmulas para curvas com entalhes.

Oblomkov trouxe a geometria para a mesa. Dê um zoom no entalhe em y2 = x3, aconselhou ele, e cerque-o com uma pequena esfera em quatro dimensões, onde os matemáticos dizem que tais curvas naturalmente habitam. A curva perfura a esfera ao longo de um loop fechado em um nó “de trevo”. Ambas as contagens levam às clássicas identidades de Rogers-Ramanujan. E quanto a outra curva? Ela também levou a outro nó, que escondia outra família de identidades. E outra curva levou a ainda mais.

As ideias da equipe cristalizaram-se na conjectura Huang-Jiang-Oblomkov (HJO). Em termos simples, escolha quaisquer dois números a e b que sejam maiores que 1, sem nenhum fator comum. A conjectura prevê que para a curva xa = yb, a contagem das soluções matriciais sempre colapsará em uma identidade do tipo Rogers-Ramanujan. Isso se traduz em infinitas famílias de identidades, uma para cada valor de a. O caso a = 2 é a família que Andrews e Gordon encontraram. Cada valor maior de a era desconhecido. E cada curva vem com seu próprio nó: o trevo para a = 2 e b = 3, e nós de toro mais intrincadamente enrolados para o resto.

A prova matemática

Novamente, Huang começou a enviar e-mails — mais de 40 em 2023 — e realizou uma série de palestras em seminários.

Desta vez, quando Ono recebeu uma das cartas de Huang, ele achou a ideia “surpreendente”, conforme relata. “That’s when I joined this chase.”

Nesse ponto, Ono havia se integrado à empresa de inteligência artificial Axiom Math como seu matemático fundador. Ele, Huang e outro matemático da Axiom, Kenny Lau, trabalharam por sete meses em conjunto com o AxiomProver, o sistema de IA com foco em matemática da empresa.

Como as ideias eram muito novas, explica Ono, eles não podiam simplesmente pedir a um modelo de IA para resolver o problema — não havia literatura para ele aprender. Em vez disso, o AxiomProver funcionou como um assistente de pesquisa, testando um espaço de ideias muito mais abrangente do que seria humanamente possível. Ele também traduziu a prova para o Lean, uma linguagem amigável a máquinas para verificação automatizada de provas. No final, o quarteto composto por humanos e IA costurou ideias de cinco áreas diferentes da matemática para provar a conjectura.

A visão de Ono sobre a IA na matemática é mais otimista do que a de muitos em sua área. “Everyone talks about the end of math”, pondera ele. “But someone had to invent this structure. This is what we should be doing.”

Os membros da equipe publicaram a conjectura HJO no servidor de preprints arXiv.org em agosto de 2026. E em setembro, os três acompanharam com a prova da conjectura.

Reinterpretadas como geometria, as velhas identidades agora apontam para territórios não mapeados, levantando questões que os matemáticos estão ansiosos para explorar.

“We found something exciting”, celebra Oblomkov, “a way to extend the geometry in the case when it’s not a trefoil knot, but a so-called Hopf link—basically you have two circles tied together. So that will be the next paper.”

Oblomkov também aponta que o ganhador da Medalha Fields Peter Scholze publicou alguns artigos que levam algumas das ideias de Huang ainda mais longe. As curvas com entalhes xa = yb são apenas o começo. A equação é, segundo Huang, “only the first example of a singularity I would write down.” Oblomkov concorda: “It’s just the first case, and there will be many more.”